Bilangan Bulat (Part 1)

A.BILANGAN BULAT

1. Pengertian Bilangan Bulat
    Pengertian bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan bilangan negatif.

Bilangan cacah = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,  ...
Bilangan negatif = -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9,  ....
Jadi pengertian bilangan bulat =  ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

*Keterangan :   a) (titik tiga kali artinya "dan seterusnya")
                          b) Bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol,
                            dan bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol.
                            Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan
                            makin besar nilai bilangan tersebut.
                            Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan makin kecil nilai bilangan tersebut.

2. Penggunaan Bilangan Bulat dalam Kehidupan Sehari-hari
          Kapal selam digunakan untuk kepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi penyelamatan.
Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlu mengetahui tingkat kedalaman laut.
Jika permukaan air laut dinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan laut dinyatakan dengan
bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan laut dinyatakan dengan bilangan negatif.
Misalnya, kedalaman 10 m di bawah permukaan laut ditulis –10 m.

3. Letak Bilangan Bulat pada Garis Bilangan

Pada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut:
Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebut bilangan bulat positif,
sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, ... disebut bilangan bulat negatif.
Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

4. Menyatakan Hubungan antara Dua Bilangan Bulat

Pada garis bilangan, makin ke kanan letak bilangan,
makin besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan,
makin kecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p, q bilangan bulat berlaku:
a. jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q;
b. jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q.

B. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT

1. Penjumlahan Pada Bilangan Bulat
    a. Penjumlahan dengan alat bantu
            Terdapat beberapa operasi hitung pada bilangan bilangan bulat, yaitu penjumlahan,
pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan bilangan bulat. Kita akan coba untuk bahas satu persatu.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini :

b. Penjumlahan tanpa alat bantu
       Penjumlahan dengan bilangan kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang
bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu kita harus menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.
        1) Kedua bilangan bertanda sama
            Jika kedua bilangan tersebut sama sama positif atau sama sama negatif, jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.
                Contoh : a) 125 + 234 = 359
                               b) -58 + -(72) = -(58 + 72) = -130
        2) Kedua bilangan berlawanan tanda
            Jika berlawanan tanda (satu positif, satu negatif), kurangi bilangan yang bernilai besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memperhatikan tanda. Hasilnya berilah tanda sama dengan kedua bilangan.
                Contoh : a) 75 + (-90) = -(90 - 75) = -15
                               b) (-63) + 125 = 125 - 63 = 62

Sifat-Sifat Penjumlahan Pada Bilangan Bulat
 a) Sifat Tertutup
       Operasi hitung penjumlahan bilangan bulat disebut memiliki sifat tertutup
    karena setiap operasi hitung penjumlahan bilang bulat selalu menghasilkan bilangan bulat juga.
    Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut :

                                       Contoh :

b) Sifat Komutatif
       Operasi hitung penjumlahan bilangan bulat juga memiliki sifat komutatif yang artinya penjumlahan dua bilangan bulat selalu memperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut :

 

                                           Contoh :

c) Sifat Asosiatif
       Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut :

 

                                          Contoh :

                                 

d) Mempunyai Unsur Identitas

         Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sembarang bilangan bulat apabila ditambah nol (0), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Hal itu dapat dituliskan sebagai berikut : 

                                         Contoh :

e) Mempunyai Invers

         Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan itu dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas arau 0 (nol).
                          Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.
                                       Contoh :

 

3. Pengurangan Pada Bilangan Bulat
  a. pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang
     

 

       Dari perbandingan di atas, di peroleh hubungan sebagai berikut.

          4 - 3 = 4 + (-3) = 1
          -5 - (-2) = -5 + 2 = -3

   Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya.

 Secara umum dapat di tuliskan sebagai berikut

 b. pengurangan dengan alat bantu

   1. 4 - 7

 

 2. -3 - (-5)

         

 

4. Perkalian Pada Bilangan Bulat 

      Kalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut : 

 

        Meskipun hasilnya sama, perkalian 5 x 4 dan 4 x 5 berbeda artinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut,

Sifat-sifat Perkalian Pada Bilangan Bulat

    
           Jika dikerjakan dengan benar, maka akan kita dapatkan sifat berikut ini,
     
            Jika dikerjakan dengan benar, maka akan kita dapatkan sifat berikut ini,
                     Jika dikerjakan dengan benar, maka akan kita dapatkan sifat berikut ini,
       
                Jika dikerjakan dengan benar, maka akan kita dapatkan sifat berikut ini,
       
                   Jika dikerjakan dengan benar, maka akan kita dapatkan sifat berikut ini,









 5. Pembagian Bilangan Bulat
         Pembagian Bilangan Bulat dinyatakan sebagai operasi kebalikan dari operasi perkalian bilangan bulat. Perhatikan contoh berikut ini,

     Dari uraian di atas, tampak bahwa permbagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut,

C.MENAKSIR HASIL PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

         Hasil pembulatan atau taksiran di peroleh dengan cara berikut:
      1. Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat
         a. Jika angka satuannya kurang dari 5, angka tersebut tidak di hitung atau di hilangkan.
         b. Jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, angka tersebut di bulatkan menjadi puluha.
      2. Untuk pembulatan ke angka ratusan terdekat.
         a. Jika angka puluhannya kurang dari 5, angka puluhan dan satuan dihilangkan.
         b. Jika  puluhannya lebih dari atau sama dengan 5, angka
  tersebut dibulatkan menjadi ratusan.